La séance a lieu en classe entière durant une heure.

Chaque élève doit mettre en oeuvre une méthode pour obtenir la longueur du segment [SN].

A la fin de la séance, les traces écrites de chaque élève sont relevées.

Leur synthèse lors de la séance suivante a permis

• de débattre autour des différentes formes de la valeur de SN trouvée
• de chercher à prouver que certaines formes étaient égales en calculant les carrés des valeurs,
• de mettre en évidence des "non règles"
• de mettre en évidence la nécessité de règles qui ont ensuite été étudiées

Le calcul de la longueur SN peut être menée selon différentes procédures (décrites ci-dessous) et le résultat obtenu peut avoir différentes formes. C'est de la confrontation des différentes formes qu'émerge la nécessité de règles de calcul avec les radicaux. 

Les procédures à plusieurs pas qui sont présentées ci-dessous ont été proposées par des élèves de la classe. Tous les élèves de la classe ont obtenu au moins un résultat.

Procédure 1

1) Calcul de SC (Théorème de Thalès appliqué aux triangles ASC et ANI) puis calcul de ES (ES = EC–SC)

    ou Calcul direct de ES (Théorème de Thalès appliqué aux triangles NES et NRA)

2) Calcul de SN (Théorème de Pythagore appliqué au triangle ENS rectangle en E)

Procédure 2

1) Calcul de SC (Théorème de Thalès appliqué aux triangles ASC et ANI)
2) Calcul de AS (Théorème de Pythagore appliqué au triangle ASC rectangle en C )
3) Calcul de AN (Thalès appliqué à ASC et ANI)
4) Calcul de SN (SN = AN–AS)

Procédure 3

ENIC rectangle
1) Calcul de ES (Théorème de Thalès appliqué aux triangles SEN et SCA)
                
2) Calcul de SN (Théorème de Pythagore appliqué au triangle ENS rectangle en E)

Procédure 4

1) Calcul de AN (Pythagore appliqué à ANI)
2) Calcul de AS (Thalès appliqué à ASC et ANI) 
3) Calcul de SN (SN = AN–AS)

Procédure 5

1) Calcul de AN (Pythagore appliqué à ANI)
2) Calcul de SC ( Thalès appliqué à ASC et ANI)
3) Calcul de AS (Pythagore appliqué à ASC)
4) Calcul de SN (SN = AN–AS)

Procédure 6

Calcul de AN (Pythagore appliqué à ANI)
Calcul de SN ( Thalès appliqué à NES et NRA)

 

Procédure 7

Calcul de AN (Pythagore appliqué à ANI) :
Calcul de AS (Thalès appliqué à SEN et SCA)
Expression de SA en fonction de SN
Calcul de SN par résolution d'une équation