Une situation

On s'intéresse à des fonctions f dérivables sur un intervalle I de ℝ dont les dérivées ne s'annulent pas sur I.
On note (C) leurs courbes représentatives dans un repère orthonormal .
Pour tout point M de (C), on considère la tangente en M à (C).
La droite coupe l'axe des abscisses en un point T.
On désigne par N le projeté orthogonal de M sur l'axe des abscisses.
Le segment [TN] est appelé sous-tangente en M à (C).

 Existe-t-il des fonctions admettant des sous-tangentes de longueur constante ?

L'activité tirée de cette situation a été testée en classe de Terminale S. Elle utilise l'environnement logiciel Casyopée.

• Vidéo Présentation de l'activité  
• La fiche élève
• L'expérimentation
• Des travaux d'élèves
  

Objectifs

• Réaliser un imagiciel adapté à la situation et l'exploiter
• Analyser des résultats pour émettre une conjecture
• Manipuler les notions de tangentes en un point à une courbe
• Mettre en évidence que les fonctions solutions du problème sont solutions d'une équation différentielle
• Exploiter différents cadres : algébrique, fonctionnel et graphique

Prérequis

• Connaître le lien entre fonction dérivée et tangente
• Connaître les solutions de l'équation différentielle y'=ay
• Avoir testé toutes les fenêtres du logiciel casyopée : fenêtre d'algèbre (pour l'introduction des fonctions et le calcul formel) , fenêtre de géométrie dynamique et son menu calcul et exportation.

Apports du logiciel Casyopée

• Il permet de concevoir un imagiciel paramétrable au niveau fonctionnel et géométrique
• Il favorise les changement de cadres : graphique, algébrique
• Il permet à l'élève d'obtenir une expression de fonction à partir uniquement de la mise en relation entre deux grandeurs
• Il favorise l'usage du calcul formel
• Il aide au passage de l'expérimentation à la démonstration

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