5. Quelques généralités sur les fractales
Beaucoup d'étudiants n’ont en général aucune idée ni aucune compréhension de ce que font réellement les mathématiciens. Il est d'ailleurs très difficile au non spécialiste de comprendre et de communiquer des résultats récents de la recherche en mathématiques.
Par exemple, l’étude des systèmes dynamiques est une partie importante de la recherche récente en mathématiques. Elle intervient dans des spécialités aussi diverses que la chimie, la physique, la biologie, les mathématiques, l'épidémiologie, l'économie. Le comportement chaotique de ces systèmes pose des problèmes de mode d'observation, de représentation, de modélisation et de simulation qu'on commence à résoudre à l'aide de la géométrie fractale. Au-delà de l'intérêt théorique, la modélisation fractale du relief des planètes, du mouvement des nuages, de l'écoulement des fluides ou de la propagation des maladies telles le SIDA ou la grippe, permet des avancées surprenantes dans d'autres domaines comme les technologies de l'information, la compression des données, la télévision à haute résolution... En même temps, la beauté des fractales inspire la création de nouvelles formes d'expression artistique (graphiques, musicales).
Les résultats des travaux sur les systèmes dynamiques et la théorie du chaos de ces quarante dernières années sont passionnants. Un aspect de cette étude fait intervenir l’itération de fonctions mathématiques. La question qui se pose est alors de savoir ce qui se produira si on itère encore et encore.
C’est un exemple de problème actuel des mathématiques que l’on peut exposer à des élèves.
Les activités proposées ici permettent aux élèves de découvrir la notion de fractales ainsi que quelques propriétés envisageant le lien avec de possibles applications.
Ces activités permettent un travail différencié. Il est possible d'évaluer (de manière formative) les compétences suivantes : engagement dans les étapes de la résolution d'un problème, présentation écrite ou orale de résultats, réalisation et présentation de travaux informatiques....
C’est en gardant ces points de vue en tête que l’on travaille ici selon deux lignes directrices.
- La construction de fractales (travail autour de l’art graphique)
- Dans un premier temps, on travaille d’un point de vue géométrique.
- Le jeu du chaos permet d’implanter des algorithmes de construction. Progressivement, on construit l’algorithme de construction du triangle de Sierpinsky (accessible avec les notions de géométrie repérée de seconde). On admet alors la traduction analytique des transformations utilisées pour la construction du flocon de Von Koch. L’algorithme écrit précédemment est alors modifié.
- En modifiant l’algorithme obtenue selon les IFS (Iterated Function System) utilisés, on construit les dragons, la fougère, la feuille d’érable.
- On peut poursuivre en « créant » une fractale.
- L’étude de propriétés de fractales (travail autour du comportement de l’aire, du périmètre, etc après un grand nombre d’itération)
- On travaille dans cette partie sur la notion de suites.
- L’objectif serait dans ce cas de comprendre l’intérêt des fractales dans la vie au quotidien.
- Ces propriétés permettent de faire le lien avec d’autres disciplines scientifiques.