Déroulement

Le travail est ici réalisé par groupe.

Le choix de la constitution des groupes peut être laissé aux élèves ou l'enseignant peut lui-même le faire en fonction des compétences ou des besoins de chaque élève. En effet, les activités proposées permettent un travail différencié en donnant la possibilité de travailler l'approfondissement ou la remédiation.

Des coups de pouce sont prévus mais ne sont « donnés » aux élèves que lorsqu’ils en éprouvent le besoin et après les avoir orientés si nécessaires.

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Outre la découverte de fractales à partir d’une construction géométrique et des premières propriétés étonnantes ainsi que la présentation à l’ensemble de la classe d’un travail effectué en groupes, les objectifs peuvent être les suivants :

Groupe 1

Objectifs de la construction :

Suivre un algorithme écrit en langage naturel. Cette partie est accessibles à tout élève et peut permettre à un élève hésitant face à la notion d’algorithme de se rassurer en se trouvant face à un algorithme écrit en langage naturel.

Objectifs de la question :

Découvrir ou travailler sur les suites en utilisant un tableur. Les élèves peuvent ici avoir envie de répondre le plus rapidement possible aux questions posées. Le coup de pouce peut leur permettre de comprendre la nécessité de décomposer le travail en étapes intermédiaires.

Prolongements possibles en Première ou en Terminale :

Travailler sur les suites en démontrant les résultats obtenus.

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Groupe 2

Objectifs de la construction :

Le flocon de Von Koch a été découvert dans la partie introduction sans que l’algorithme de construction permettant de l’obtenir clairement établi. L’algorithme attendu ici est un algorithme en langage naturel analogue à celui qui est proposé au groupe 1. Lors de l’écriture d’un algorithme, il n’est pas simple de vérifier s’il fonctionne. L’écriture en langage naturel peut permettre de vérifier plus facilement ce qu’il renvoie ; le groupe peut être partagé en deux, une partie écrivant l’algorithme, l’autre le testant. Des échanges et des allers/retours permettent d’obtenir un résultat valable.

Objectifs de la question :

Découvrir ou travailler sur les suites en démontrant les résultats obtenus.

Prolongements possibles en Première ou en Terminale :

Travailler sur les suites en démontrant les résultats obtenus à l’aide du tableur. Cette activité peut être une introduction à la notion de limite de suites.

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Groupe 3

Objectifs de la construction :

L’activité proposée ici est accessible aux élèves ayant des difficultés. En effet, la construction de la courbe du dragon ne repose que sur des pliages de papier. Elle demande tout de même un minimum de rigueur, les pliages étant effectués toujours dans le même sens et la construction de la courbe s'obtient en regardant la feuille toujours par le même côté.

Une fois les premières étapes effectuées à la main à l'aide du pliage, on peut donner aux élèves comme autre algorithme de construction simple ce qui suit.

On commence par tracer un trait que l'on parcourt (par exemple) vers la gauche (G).

A la première étape, on dessine la portion de courbe déjà obtenue puis on la prolonge en effectuant un virage à droite (D). On obtient alors deux traits GD

A la deuxième étape, on dessine la portion de courbe déjà obtenue puis on la prolonge en effectuant un virage à droite (D) puis un virage . On obtient alors deux traits GD.

On précise ainsi à chaque étape le sens de déplacement :G , GD , GDDG , GDDGDDGG , etc.

On note que, pour obtenir la courbe à une étape n, on récrit la liste des déplacements en intercalant alternativement entre chaque lettre D et G, en commençant pas D.

On obtient ainsi à l’étape 4 : G D D G D D G G D D D G G D G G

Il suffit de poursuivre le procédé pour obtenir de proche en proche la courbe du dragon.

 

Objectifs de la question :

Les dimensions de la courbe lors des premières étapes peuvent être lues en s’appuyant sur les dessins. En revanche, trouver un algorithme donnant les dimensions à chaque étape est difficile. Le coup de pouce est alors nécessaire, l’objectif est alors de faire appliquer aux élèves un algorithme qui ne ressemble pas à un algorithme ce qui est assez rassurant pour les élèves ayant des difficultés. Il apparaît que de la rigueur est ici nécessaire.

Commentaires

A l'issue de ce travail, les différents groupes ont présenté leur construction ainsi que les réponses aux questions qui étaient posées, dégageant de cette façon certaines propriétés des fractales.

On peut remarquer que ces propriétés étonnantes et remarquables concernant l'aire des figures obtenues ou la longueur des courbes ont été longtemps laissées de côté.

Ainsi, en augmentant le problème d'une dimension, on peut présenter le travail effectué par Karl Menger (1902-1985) et les applications qui en découlent de nos jours.

En 1926, il décrit la construction d’un solide fractal qui permet de répondre à la question. Un cube est partagé en 27 petits cubes identiques d’arête le tiers de l’arête du cube initial. On évide alors le cube initial en supprimant les sept petits cubes qui n’ont pas d’arêtes communes à celles du cube initial. On recommence le procédé avec chacun des 27 petits cubes. Et ainsi de suite. Le solide obtenu est connu sous le nom d’éponge de Menger.

En construisant l’éponge de Menger à partir d’un cube de côté a , on obtient après n itérations un volume total de  et une surface totale de . Lorsque n augmente, le volume total tend vers 0 alors que la surface totale augmente indéfiniment. Cette découverte, longtemps laissée de côté, a fini par trouver des applications et intéresse aujourd’hui physiciens et biologistes.

 

Par exemple, sachant que l’absorption acoustique est proportionnelle à la surface développée au contact des ondes sonores, des recherches ont été menées par le laboratoire de physique de la matière condensée (PMC) de l’école polytechnique pour l’élaboration de murs antibruit en construisant un mur de volume donné dont la surface est la plus grande possible (Des fractales contre le bruit des voitures » http://www2.cnrs.fr/presse/journal/1133.htm  ou encore http://pmc.polytechnique.fr/homepage.htm)

 

Parmi les thèmes de recherche de ce même laboratoire, on peut citer des travaux sur la diffusion des gaz dans les poumons des mammifères (http://pmc.polytechnique.fr/groupes/irregularite/activites/diffupoumon/menu_dp.htm). La respiration chez les mammifères a pour but d'amener dans le sang l'oxygène nécessaire et d'évacuer le gaz carbonique. Elle s'effectue au travers du poumon qui comporte une surface d'échange dont la superficie globale est d'environ les 100 m² chez l'homme adulte à l'intérieur du volume restreint de la cage thoracique.