La roue
TEXTE DE L'ACTIVITE
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On dispose d'une roue de loterie parfaitement équilibrée comportant 5 secteurs identiques numérotés de 1 à 5. Quel est le nombre de succès le plus probable ?
Quelle serait la réponse si le joueur faisait tourner la roue cinq fois de suite ? |
COMMENTAIRES
Comme il a été précisé en introduction, cette activité a été conçue et exploitée en formation continue. Elle a tout de même été testée auprès d'élèves de première ES et S.
L'objectif étant l'introduction de la loi binomiale, le choix d'une roue comportant un nombre suffisamment grand de secteurs s'est imposé pour dissuader les élèves de faire un arbre de choix.
Un début d'arbre de choix a été effectué par certains mais les 5 branches nécessaires au départ puis les quatre niveaux imposés par l'énoncé conduisent rapidement à établir un arbre pondéré associé à un schéma de Bernoulli. Il est donc important d'avoir au préalable travaillé sur des arbres pondérés.
Le cas échéant, il est possible de prévoir, en coup de pouce pour les élèves ayant des difficultés, un arbre vierge correspondant à la situation.
Il est apparu que compléter l'arbre et déterminer les probabilités du nombre de succès ne pose pas de problème. Le seul point apparaissant comme délicat aux yeux de certains élèves a été de se demander comment dénombrer ces succès si on n'avait pas fait l'arbre ou si, au contraire, il fallait toujours faire un arbre pour répondre à de telles questions.
Lors de la synthèse, l'enseignant présente un arbre pondéré (ou le complète au tableau) et fait la synthèse en établissant la loi de la variable aléatoire donnant le nombre de succès à l'issue de l'expérience.
La loi binomiale est ainsi mise en évidence de même que les coefficients binomiaux que l'on peut faire avantageusement apparaître en couleur lors de la synthèse, la question qui se pose alors étant « comment déterminer ces coefficients ».
Il est par ailleurs intéressant de demander aux élèves une représentation de la loi de X afin de visualiser la situation.
Après expérimentations, il apparaît que la formulation de la question « Quel est le nombre de succès le plus probable ?» est plus riche et plus motivante que par exemple "Quelle est la probabilité d'obtenir 2 succès ?
En effet, « Quel est le nombre de succès le plus probable ?» permet aux élèves de s'approprier la situation c'est à dire qu'ils posent le problème de l'équiprobabilité, ils envisagent tous les nombres de succès , font des représentations afin d'obtenir toutes les façons de les obtenir. La représentation en arbre paraît alors la plus appropriée pour les calculs à mener.
Cette situation est riche car elle met en place l'image mentale de l'arbre pondéré associé à un schéma de Bernoulli. Elle introduit les nombres k parmi n et le prolongement naturel à cette séance est l’institutionnalisation de l'expression de p(X=k) puis les propriétés des nombres k parmi n.
POUR COMPLETER : lien vers progression