La maintenance
TEXTE DE L'ACTIVITE
Activité 3 : Suite de l'activité "Casino"
|
COMMENTAIRES
Retour sur l'intervalle de fluctuation de seconde
On rappelle que pour déterminer l'intervalle de fluctuation au seuil de 95% tel qu'il est défini en seconde, il suffit d'appliquer le résultat suivant :
Théorème
On note p la proportion d'un caractère dans une population et f la fréquence de ce caractère dans un échantillon de taille n.
Lorsque n≥ 25 et 0,2 ≤p ≤ 0,8, on admet que pour environ 95% des échantillons de taille n , la fréquence f du caractère appartient à l'intervalle
Compte tenu des conditions d'application du théorème, nous ne sommes donc pas dans le cadre de l'intervalle de fluctuation de seconde. Il apparaît donc nécessaire de procéder autrement.
Intervalle de fluctuation avec la loi binomiale
En notant F la variable aléatoire donnant la fréquence de succès, on cherche un intervalle [f1; f2] tel que P([f1 ≤ F ≤ f2]) ≥ 0,95 avec P([f1 ≤ F ≤ f2]) aussi proche que possible de 0,95. Cet intervalle sera un intervalle de fluctuation au seuil de 95%.
On peut remarquer que le caractère discret des variables aléatoires implique que l'on n'a pas nécessairement l'égalité d'où le choix de cette définition.
Comme F = X/n , on a
On est donc amené à déterminer deux entiers a et b tels que P([a≤ X ≤ b])≥ 0,95 avec P([a ≤ X ≤ b ]) aussi proche que possible de 0,95.
Il existe donc plusieurs intervalles de fluctuation.
La démarche adoptée dans les programmes de 1ère pour déterminer ce qui sera défini comme l'intervalle de fluctuation à partir de la loi binomiale est la suivante :
Ainsi :
• a est le plus grand entier tel que P([X < a ]) ≤ 0,025 ce que l'on peut traduire par a est le plus petit entier tel que P([X ≤ a ])>0,025
• b est le plus petit entier tel que P([X > b ]) ≤ 0,025 ce qui équivaut à 1 — P([X ≤ b ]) ≤ 0,025 ou encore
P([X ≤ b ])≥0,975
Pour déterminer l'intervalle de fluctuation tel qu'il est défini en 1ère, il suffira donc de travailler à l'aide des probabilités cumulées P([X ≤ k]) et de déterminer les entiers a et b tels que :
• a est le plus petit entier tel que P([X ≤ a ]) > 0,025
• b est le plus petit entier tel que P([X ≤ b ])≥ 0,975
L'intervalle de fluctuation de la variable fréquence au seuil de 95% est alors [a/n ; b/n].
On peut noter que ce n'est pas nécessairement le plus petit intervalle de fluctuation au seuil de 95%
Mise en place dans le cadre d'une progression : quelques idées