Synthèse en classe entière

Le professeur reprend le problème à partir de la partie B : h(x)= x² – 3x +  et  f(x) =a(x– b)² + c.

Aux questions sur les paramètres les élèves répondent :

Le réel a permet d’éloigner ou de resserrer les branches de la courbe. Si  a  est négatif la courbe change de sens.

Le réel b permet de déplacer la courbe horizontalement.

Le réel c permet de la déplacer verticalement.

Le paramètre a est mis sur 5/3 (unanimité des élèves).

Les valeurs de b proposées par les élèves sont testées. En diminuant le pas, un élève explique qu’on augmente la précision des tracés. La valeur 9/10 est celle finalement retenue.

Paramètre c : un essai est fait avec -2/3. En zoomant les courbes de h et f sont proches mais ne sont pas superposables. Les élèves demandent de changer le pas en prenant 1/10.

Le pilotage du paramètre ne permet pas de déterminer la valeur de c.

Le professeur décide de ne pas changer les valeurs de a et b, le paramètre  c  est mis en mode désinstancié ou formel.

Le professeur demande :

« Les courbes doivent être superposables, que peut-on en déduire pour les expressions f(x) et h(x). »

Réponses d’élèves : elles sont égales.

« Comment prouver que deux expressions sont égales ? »,  demande le professeur.

Pas de réponse.

« Que peut-on dire alors de la différence, pour tout x,  f(x) – h(x) ? »

Des élèves répondent « zéro ».

L’expression h(x) – f(x) est entrée. Avec le menu Calculer,  il en est demandé un développement.

Le logiciel affiche  c + 41/60 ; cette expression doit être égal à 0. La valeur de c  est donc  -41/60.

Dernière étape : vérification
Création de la fonction k définie par  k(x) =5/3(x –9/10)² – 41/60 , puis de la fonction p définie par
p(x) = k(x) – h(x), dont il est demandé le développement.

On peut alors concluer que pour tout réel x, k(x) = h(x).

Conclusion

Cette activité allie à la fois exploration graphique et raisonnement algébrique. L’exploration graphique avec pilotage de paramètres permet à l’élève d’organiser celui-ci en identifiant le rôle de chacun. Cette exploration peut être réussie par tous les élèves.

Le deuxième aspect est de montrer des limites des explorations graphiques et la nécessité de considérer le problème algébriquement. Ce travail guidé par le professeur est plus abstrait et il n’est pas certain que la méthode ait été bien comprise par tous les élèves.