Première
La situation déclinée au niveau de la classe de Première
Le texte élève
Dans un repère orthonormal de centre O, on considère les points A(10;0) et I(0;5) , ainsi que la demi droite [Ax) parallèle à l'axe des abscisses.
M est un point variable du segment [OA].
On construit le triangle IMN rectangle en M, avec N appartenant à [Ax).
Le but de l'activité de déterminer s'il existe des positions du point M telle que cette aire soit maximale.
Les objectifs
- Construire une figure avec contraintes
- Exploiter la figure de géométrie dynamique pour émettre des conjectures sur l'aire maximale
- Modéliser la situation à l'aide de fonctions
- Mobiliser ses connaissances mathématiques( fonctions dérivées, trinôme) pour justifier les conjectures
Les prérequis
- Utilisation de Casyopée pour étudier le lien fonctionnel entre deux grandeurs issues d'une situation géométrique
- Variations de fonction et signe de la fonction dérivée
L'expérimentation
Le déroulement
La séance a lieu en demi classe durant une heure dans la salle multimédia. Les élèves ont déjà utilisé le logiciel Casyopée durant des séances de TP ; certains d'entre le connaissent depuis la Seconde.
Ils travaillent en autonomie, individuellement ou par deux. Pratiquant régulièrement ce type de séances de TP, ils connaissent les règles implicites :
- prendre le temps de comprendre le problème avant d'utiliser l'ordinateur (schémas à main levée, questionnement...)
- utiliser l'ordinateur pour modéliser la situation, observer, conjecturer, calculer
- Justifier et rédiger un compte rendu.
Le professeur valide le travail individuel au fur et à mesure de la séance ; en fonction de son état d'avancement, il peut différencier ses aides, ses conseils et ses exigences.
La construction géométrique
Elle est réalisée sans trop de difficultés. Si les statuts des points I et A (points fixes définis par leurs cordonnées) et M (point libre sur un segment) sont facilement identifiés, la construction du point N pose encore problème chez certains élèves, qui commencent par le définir comme un point libre sur une demi-droite. Les rétroactions de la géométrie dynamique les aident à reconnaître leur erreur (différence entre point libre et point dépendant), et ils finissent par prendre en compte les contraintes sur N pour le construire.
Conjectures
Ayant créé le calcul géométrique de l'aire du triangle IMN, les élèves explorent numériquement les variations de l'aire en déplaçant le point M. Ils peuvent observer que l'aire semble maximale lorsque M est en O ou au milieu de [OA].
Modélisation par une fonction
Les élèves utilisent Casyopée pour déterminer l'expression algébrique de l'aire du triangle en fonction de la variable choisie. Celle-ci peut être la distance OM, AM, ou encore l'abscisse de M.
Calculs et justifications
Les élèves ont à disposition tous les outils de calcul formel de Casyopée : développement, factorisation, mise au même dénominateur, dérivée,résolution d'équation ..... qu'ils peuvent utiliser comme bon leur semble ; ils peuvent aussi effectuer des calculs à la main, ou vérifier des calculs générés par Casyopée.
Cette variété permet à l'enseignant de différencier le travail algébrique des élèves en fonction de leurs compétences ou de leurs difficultés.
Il peut par exemple demander à un élève mal à l'aise en calcul d'effectuer le calcul de la dérivée à la main et de vérifier ensuite avec Casyopée. Il peut en revanche lui demander d'interpréter la factorisation de la dérivée (qui est un trinôme) générée par Casyopée sans aucune justification de calcul.
Rappelons ici que l'activité algébrique ne se réduit pas qu'à des techniques de transformation, mais qu'elle met aussi en jeu la compréhension de la multiplicité des formes équivalentes et de leur utilité. C'est pourquoi le choix est fait dans Casyopée d'utiliser des primitives de calcul formel pour que les élèves puissent aisément obtenir diverses formes des expressions des fonctions, leurs sous-expressions, les valeurs prises. Soulignons que cette activité transformationnelle ne serait qu'un pur jeu symbolique si elle n'était pas motivée par la preuve.
Voir les calculs et les justifications d'un élève