Le théorème de Moivre Laplace
La mise en place du théorème de Moivre Laplace est organisée en 4 actes.
X étant une variable aléatoire qui suit une loi binomiale B(n,p), on s'intéresse ici à la variable aléatoire :
Il s'agit de mettre en place que pour p fixé, lorsque n devient grand, l'aire correspondant à P(a≤Zn≤b) se rapproche de l'aire entre a et b sous une courbe qui est la courbe représentative de la fonction :
Acte 1 : travail papier crayon et calculatrice
Acte 2 : travail tableur ou calculatrice
Acte 3 : des bâtons aux rectangles
Acte 4 : automatisation et illustration du théorème
Dans les deux premières activités, il est d'abord proposé de calculer des probabilités d'évènements du type (a≤Zn≤b) soit à partir d'une table de valeurs de loi binomiale, soit à partir de la calculatrice ou d'un tableur. En particulier on s'intéresse à l'évènement (-1,96≤Zn≤1,96).
La connaissance de la variable aléatoire Zn est ensuite approfondie : loi de probabilité, espérance et variance.
Dans la troisième activité, à partir de la représentation sous forme de bâtons de la loi de probabilité de Zn, on construit la représentation de cette même loi avec des rectangles de bases jointives. Ce travail papier-crayon amène à la notion d'aire sous une courbe.
La quatrième activité propose une automatisation du procédé mis en évidence dans l'activité précédente avec le logiciel GeoGebra afin de faire apparaitre une courbe invariante lorsque n devient grand.
Les propriétés de cette courbe, représentative de la fonction densité de la loi normale N(0,1), auront pu être préalablement travaillées dans le chapitre "intégration".
Les objectifs sont progressivement :
- de continuer à travailler avec des variables aléatoires, fonction d'une variable aléatoire X qui suit une loi binomiale
- d'appréhender des propriétés de la variable aléatoire centrée réduite Zn (valeurs prises par la variable, espérance, variance, forme de représentation en bâtons de sa loi de probabilité)
- d'examiner la situation pour des valeurs grandes de n
- d'associer à la loi discrète de Zn des aires de rectangles
- de mettre en évidence lorsque n est grand une courbe