Troisième
La situation déclinée au niveau de la classe de Troisième
Sur la figure ci-dessous, OA = 10 cm et AC = 5 cm.
A partir d'un point M appartenant au segment [OA], on construit sur la droite (d) le point N tel que le triangle CMN soit un triangle rectangle en M.
Existe-t-il une ou des positions du point M telle(s) que l'aire du triangle CMN soit égale à 24 cm² ?
Les objectifs
- Construire une figure avec contraintes
- Mettre en évidence un lien fonctionnel entre deux grandeurs
- Exploiter la représentation graphique d'une fonction pour résoudre une équation
- Manipuler le vocabulaire sur le thème des fonctions
Les prérequis
- les généralités sur la notion de fonction : notation, image, antécédent(s), tableau de valeurs, courbe représentative, expression
Expérimentation
Le déroulement
La séance a eu lieu classe entière durant une heure avec un ordinateur couplé à un vidéo projecteur et un Tableau Blanc Interactif. Les élèves ont déjà exploité le logiciel Casyopée mais uniquement en classe entière.
Au début de l'activité, le professeur propose de faire des essais : positionnement d'un point solution du problème. L'objectif est de faire une première construction de la figure en tenant compte des contraintes puis d'effectuer le calcul de l'aire du triangle par mesure à la règle graduée . Quelques élèves ont des réticences à faire des essais et cherchent des procédés pour obtenir les points solutions.
Des premiers résultats sont obtenus et listés au tableau. La position du point M correspondante n'est pas donnée par les élèves.
Deux élèves viennent au tableau expliquer les méthodes mises en œuvre pour calculer l'aire du triangle.
Pour obtenir d'autres valeurs, le professeur propose d'utiliser le logiciel Casyopée et sa première fenêtre de géométrie dynamique. Plusieurs élèves se succèdent au TBI pour la construction puis la mise en place du calcul de l'aire du triangle CMN.
Le point M mobile sur [OA] est déplacé de façon à rendre compte de son impact sur la figure. Le professeur demande aux élèves de préciser les points de la figure sur lesquels il est possible d'agir. Après discussion, Seul le point M est retenu. Il demande ensuite aux élèves de revenir sur leurs premiers résultats et de préciser la position du point M qu'ils avaient choisi. Des élèves proposent de donner la longueur des côtés [NM] et [CM], puis la distance de M au point A.
La mise en place avec le logiciel du calcul de AM est effectuée. Après discussion, la classe propose :
"l'aire varie en fonction de la longueur AM"
La modélisation en terme de fonction du problème étant amorcée, le logiciel est exploité pour obtenir des informations sur la fonction qui à la longueur AM associe l'aire du triangle CMN :
- dans le cadre algébrique : le logiciel permet une exportation d'une expression de la fonction)
- dans le cadre numérique : un tableau de valeurs
- dans le cadre graphique : la courbe représentative
La résolution de l'activité s'oriente alors vers une autre formulation du problème, résolution de l'équation f(x)=24 puis la lecture collective des solutions à l'aide de la courbe représentative de la fonction.
A la fin de la séance, le professeur distribue la courbe représentative de la fonction mise en évidence collectivement pour que chacun puisse à la maison effectuer les tracés nécessaire à la lecture graphique des solutions.
La synthèse de l'activité est effectuée la séance suivante en exploitant l'exportation de la séance (fichier TBI) et la conclusion fait apparaitre trois positions solution au problème posé.
L'exportation de la séance en fichier pdf à partir de l'enregistrement TBI
Commentaires
Tout au long du collège, les élèves sont confrontés avec "la mise en équation" de problèmes.
Ce qui explique la formulation du problème par plusieurs élèves en début de séance sous la forme :
Il est également intéressant d'examiner les traces écrites d'un élève qui aboutit à " le point M est à une distance égale à sqrt(11) su point A".
D'une part, le texte ne précise pas l'inconnue (x) et d'autre part, au cours de la séance, il va s'agir dans un cadre fonctionnel de mettre en évidence une variable et non une inconnue. Enfin, le retour au problème posé s'exprimer sous la forme :
Cette activité s'inscrit bien dans les nouveaux enjeux de la classe de Troisième.
Pour conclusion, la situation est une ouverture vers les programmes de lycée ; elle conduit en effet à une courbe représentative de la fonction et un nombre de solutions du problème qui ne sont pas familiers à un élève de troisième.