Terminale
La situation déclinée au niveau de la classe de Terminale
Le texte élève
Dans un repère orthonormal de centre O, on considère les points A(10;0) et I(0;a) où a est un paramètre positif, ainsi que la demi droite [Ax) parallèle à l'axe des ordonnées.
M est un point variable du segment [OA].
On construit le triangle IMN rectangle en M, avec N appartenant à [Ax).
Le but de l'activité de déterminer s'il existe des positions du point M telle que cette aire soit maximale.
Les objectifs
- Construire une figure avec contraintes
- Exploiter la figure de géométrie dynamique pour émettre des conjectures sur l'aire maximale
- Modéliser la situation à l'aide de fonctions
- Mobiliser ses connaissances mathématiques( fonctions dérivées, trinôme) pour justifier les conjectures
-
Généraliser l'étude et é
tudier une famille de fonctions suivant les valeurs d'un paramètre
- Rédiger un compte rendu.
Les prérequis
- Utilisation de Casyopée pour étudier le lien fonctionnel entre deux grandeurs issues d'une situation géométrique
- Variations de fonction et signe de la fonction dérivée (programme de première)
- Distinguer les différents statuts des lettres en algèbre : inconnues, variables, paramètres ....
L'expérimentation
Le déroulement
Cette activité a été testée en terminale S, en début d'année.
Une majorité des élèves connaissait l'environnement Casyopée, l'ayant utilisé en 1ère lors de séances en salle multimédia.
La séance a eu lieu en demi classe durant une heure en salle multimédia.
les élèves travaillaient en autonomie, individuellement ou en binômes.
Le professeur intervenait auprès de chacun des élèves en validant le travail, conseillant, suggérant des pistes de recherche.
A l'issue de la séance, les élèves ont rédigé un compte rendu de leur travail.
Le scénario
Première partie : Construction géométrique
Les élèves réalisent la construction géométrique dans la fenêtre de géométrie dynamique de Casyopée.
Cette étape ne leur pose pas de problèmes. Ils savent différencier le statut des points de la figure (M point libre sur segment, N intersection de deux droites....) et réaliser le programme de construction dans le bon ordre sans intervention de l'enseignant.
Deuxième partie: étude du cas particulier où a=5
Cette étape correspond au travail demandé aux élèves dans l'expérimentation de Première.
Les élèves de terminale font preuve d'une certaine autonomie dans la méthode et dans l'utilisation de l'environnement :
Conjectures
Ayant créé le calcul géométrique de l'aire du triangle IMN, les élèves explorent numériquement les variations de l'aire en déplaçant le point M. Ils observent que l'aire semble maximale lorsque M est en O ou au milieu de [OA].
Modélisation avec Casyopée en vue d'une justification
Les élèves utilisent Casyopée pour déterminer l'expression algébrique de l'aire du triangle en fonction de la variable choisie. Celle-ci peut être la distance OM, AM, ou encore l'abscisse de M. Cette fonctionnalité du logiciel est dans l'ensemble bien maîtrisée par les élèves qui l'ont souvent utilisée en classe de première. Elle est perçue comme une aide évitant de faire des calculs pour établir une expression algébrique.
La fonction géométrique établie par l'environnement est exportée dans la fenêtre algébrique. Les élèves ont à disposition tous les outils de calcul formel de Casyopée : développement, factorisation, mise au même dénominateur, dérivée,résolution d'équation ..... qu'ils peuvent utiliser comme bon leur semble.
Ils font bien le lien entre les pratiques usuelles en classe pour étudier une fonction et les outils mis à disposition,et savent utiliser les calculs obtenus pour justifier.Pour l'enseignant cette partie permet de faire le point sur les connaissances de ses élèves relatives aux études de fonctions.
Troisième partie : vers une généralisation en prenant en compte le paramètre a
Étude de cas
Dans cette phase, il s'agit de tendre à la généralisation en étudiant l'aire pour différentes valeurs de a.
En pilotant le paramètre a, les élèves peuvent observer plusieurs allures de courbes, par exemple :
Ce travail s'avère difficile. Les élèves ont du mal à décrire les différents cas qu'ils observent.L'intervention de l'enseignant s'avère nécessaire pour les aider à formuler les différents cas observés.
Étude du cas général
En se situant dans un cadre purement algébrique, les élèves étudient la fonction pour une valeur quelconque de a.
L'utilisation du calcul formel peut les aider à étudier le signe de la dérivée a :
Leur travail est alors centré sur l'interprétation des réponses (ou des non réponses) apportées par le calcul formel : Ils doivent lier l'étude de cas à l'existence des racines de f '(x), comprendre l'impossibilité du calcul formel de calculer son expression factorisée et justifier ainsi les différents cas.