Synthèse
Quelle que soit le niveau auquel la situation a été expérimentée, le scénario s'appuie sur les grandes étapes suivantes contextualisées :
1) La réalisation d'une figure à main levée
Elle constitue une aide à la prise en compte des données et des contraintes.
Elle facilite l'émergence des calculs à mettre en place pour obtenir l'aire du triangle.
2) La réalisation de la figure dynamique avec le logiciel
Elle oblige à clarifier la nature des points : fixe , libre (ici le point M), dépendant (ici le point N).
Les rétroactions de la géométrie dynamique favorise la construction correcte de la situation.
La fenêtre « bloc note » du logiciel Casyopée retrace les essais des élèves et notamment la construction du point dépendant N.
C'est une aide pour expérimenter, pour explorer davantage la situation (nombreux cas).
3) La mise en place de calculs géométriques
Elle facilité l'exploration numérique de la situation et les premières conjectures à l'aide du déplacement du point M.Elle permet l'approfondissement de la covariation entre le point M et l'aire pour aller vers la dépendance fonctionnelle. C'est bien de notre point de vue la phase sur laquelle nous mettons l'accent car elle doit faire émerger le concept de fonction.
4) Modélisation
L'aboutissement des 3 premières étapes conduit à « L'aire varie en fonction de ..... »A partir de la mise en relation entre deux grandeurs, le logiciel fournit une expression algébrique de ce lien fonctionnel. C'est indéniablement son atout le plus précieux car il va permet de continuer en explorant la fonction selon différents cadres.
De plus le choix de la variable n'étant pas uniquement, plusieurs dépendances fonctionnelles peuvent être mises en évidence.
5) Exploitation d'une fonction
La fonction devient l'outil pour répondre à la question posée (aire = 24 ou aire minimale) .
La première étape consiste à reformuler la question en exploitant la fonction. Ceci s'effectue en réinvestissant le vocabulaire sur les fonctions (image, antécédent, maximum, variation ...)
Les élèves ont à disposition la courbe représentative de la fonction : sa lecture graphique après fenêtrage permet d'affiner les conjectures.
Au niveau d'un enseignement en classe de troisième et de seconde, une conclusion de l'activité est mise en forme.
A un niveau supérieur, le logiciel Casyopée met à disposition des élèves des outils de calcul formel : développement, factorisation, mise au même dénominateur, dérivée, résolution d'équation .....
Cette variété permet à l'enseignant de différencier le travail algébrique des élèves en fonction de leurs compétences ou de leurs difficultés. Il peut par exemple demander à un élève mal à l'aise en calcul d'effectuer le calcul de la dérivée à la main et de vérifier ensuite avec Casyopée. Il peut en revanche lui demander d'interpréter la factorisation de la dérivée (qui est un trinôme) générée par Casyopée sans aucune justification de calcul.
L'activité algébrique ne se réduit pas qu'à des techniques de transformation, elle met en jeu la compréhension de la multiplicité des formes équivalentes et de leur utilité.
Enfin dès lors que la généralisation de la situation est proposée , la fonction exportée par le logiciel Casyopée tient compte du paramètre a. L'exploration graphique et algébrique de la fonction permet conjectures et preuves. L'utilisation du calcul formel peut aider les élèves à étudier le signe de la dérivée .Le travail est alors centré sur l'interprétation des réponses (ou des non réponses) apportées par le calcul formel : les élèves doivent lier l'étude de cas à l'existence des racines de f '(x), comprendre l'impossibilité du calcul formel de calculer son expression factorisée et justifier ainsi les différents cas.