La situation déclinée au niveau de la classe de Seconde

Texte élève

Étude d'une voile triangulaire

Un navigateur veut fabriquer une voile en forme de triangle rectangle.
Il utilise un cadre fixe CABD dont les dimensions sont AC = 5m, AB = 10m et BD = 10m.
Il fixe une des extrémités de la voile en C. La deuxième extrémité M peut se déplacer sur le
segment [AB], enfin, le triangle CMN doit être rectangle en M avec N appartenant au segment
[BD].

Il désire que la voile soit la plus grande possible.

Les objectifs

"De la dépendance géométrique à la dépendance univoque (création de fonction), en passant par la co-variation de grandeurs"

• Demander aux élèves de travailler sur la dépendance entre des objets géométriques, puis d'étudier la co-variation entre des grandeurs qu'ils ont choisies, pour mieux comprendre le choix de variables lors de la création d' une fonction modélisant la situation.
  
  
• Déterminer graphiquement le maximum d'une fonction ainsi que les valeurs pour lesquelles il est obtenu.
  
  
• Préciser le rôle des lettres. La figure n'est pas donnée dans un repère (on peut enlever le quadrillage), le choix de la variable suite à l'étude de la dépendance géométrique est AM ou BM car M est le point libre sur [AB]. Le segment [AB] apparaît vertical sur la figure et la variable ne correspond pas à l'abscisse d'un point dans un repère orthonormé habituel. Par contre, dans l'écriture de la fonction cette variable nommée x, correspondant à AM ou BM, et représente un réel appartenant à [0 ; 10] (voir la remarque sur la construction à la fin du document).
  
  
• Introduire une méthode pour prouver l'existence du maximum par factorisation et étude du signe d'une expression algébrique.
  
  
• Revenir au problème initial en associant les interprétations graphiques et les résultats obtenus par les calculs.
  
  
  

Les prérequis

• Savoir construire un triangle rectangle et savoir calculer son aire.
• Savoir définir une fonction (à un réel x on associe l'expression notée f(x)).
• Savoir lire graphiquement un extremum.
• Reconnaître une forme factorisée d'une forme développée et savoir choisir la forme adaptée pour en étudier le signe.

L'expérimentation

Le déroulement

En salle informatique il est laissé du temps aux élèves pour construire la figure et déterminer les grandeurs nécessaires à la création de la fonction.

Première partie (une heure) : en salle informatique (un ou deux élève(s) par poste)

Construction de la figure: aucune consigne n'est donnée pour la construction de la figure et le professeur vérifie que celle-ci est correcte en déplaçant le point M ou N. Dans le cas d'une figure "molle", (les points M et N étant créés indépendamment l'un de l'autre, les élèves les placent pour avoir CMN rectangle en M), le déplacement d'un point leur montre que la figure ne respecte pas les contraintes. Une discussion avec le professeur ou entre les élèves permet à ces derniers de mieux comprendre la dépendance géométrique entre des points et de faire la différence entre points fixes, points libres et points dépendants.

Conjecture: Après avoir écrit la formule donnant l'aire du triangle et afficher sa valeur, les élèves conjecturent à partir d'une exploration numérique la valeur du maximum.

Modélisation : les élèves ont à déterminer une variable pour exprimer une dépendance entre deux grandeurs et construire ainsi une fonction. Le professeur intervient auprès plusieurs élèves pour les aider à choisir une variable.
Lecture graphique: conjecture du maximum et les valeurs pour lesquelles il est atteint, la valeur
x= 0 n'est pas forcément remarquée (valeur particulière, le triangle existe-t-il ?).

Deuxième partie (une heure) : synthèse en classe entière

A partir des résultats numériques et graphiques obtenus, mise en place d'une méthode pour justifier l'existence d'un maximum égal à 25 par l'étude du signe de l'expression g(x) = 25 - f(x).
Utilisation du calcul formel: discussion sur le choix entre les commandes "factoriser" et "développer" pour étudier le signe de g(x).
Conclusion sur le maximum, affichage simultanée de la fenêtre algèbre et de la fenêtre géométrie dynamique pour faire le lien entre lecture sur une courbe et situation géométrique.

Analyse

En salle informatique, les élèves ont le temps de construire la figure dans la fenêtre de géométrie dynamique. Si la figure est molle, une discussion et une réflexion s'engagent.

Pour le calcul de l'aire, peu d'élèves demandent de l'aide, en effet ce calcul a déjà été effectué lors d'exercices précédents et peu d'élèves cherchent à tracer la hauteur issue du point M.

Certains commencent un calcul avec des erreurs :  

Différentes conjectures apparaissent :  

ou

Concernant la modélisation, la plupart des élèves choisissent AM comme variable.
Les élèves ont déjà modélisé avec Casyopée et connaissent la procédure. La fonction du troisième degré obtenue ne les surprend pas et ils lisent la valeur du maximum.
Quelques élèves utilisent les outils de calcul formel. 

Lors de la synthèse en classe entière, les points suivants sont abordés:

• dépendance des points lors de la construction de la figure ;
• choix des variables AM ou BM, les expressions algébriques sont différentes mais la démarche est identique dans les deux cas.
  
  
  
  
•   Mise en place d'une méthode pour prouver l'existence d'un extremum.

Conclusion

Le logiciel Casyopée a permis de préciser la notion de dépendance entre des objets géométriques, entre des grandeurs, et aussi de comprendre la nécessité d'une dépendance univoque pour pouvoir créer une fonction.
Il a été une aide à la modélisation et les outils de calcul formel à disposition des élèves ont été utilisés lors de la preuve de l'existence d'un maximum.
Enfin, cette activité a été l'occasion de mettre en place une méthode pour prouver l'existence d'un extremum.

Remarque sur  la construction de la figure

Aucun élève n'a eu l'idée de placer d'abord le point libre N sur [BD] puis de construire le cercle de diamètre [NC]. Cette construction permet de mettre en évidence les positions de N pour lesquelles le point M existe. La modélisation obtenue avec le logiciel est plus difficile à traiter. Il ne faut pas exclure cette méthode de construction.